Varyans hakkında bilgi

Tanım: Varyans bır dağılımın kendi ortalamasından sapmasının karesinin beklenen değeridir. Varyans kavramı dağılıma ait herbir değerin dağılımın ortalamasından ne kadar uzak olduğuyla ilgilidir. Varyans söz konusu sapmaların ortalama değerini ölçmektedir. μ = E(''X''), ''X'' değişkeninin beklenen ortalama değeri olmak üzere, varyans şöyle tanımlanır: <math>\operatorname{var}(X)=\operatorname{E}((X-\mu)^2).</math> Teorik uygulamalarda varyans; <math>\operatorname{var}(X)=\operatorname{E}(X^2)-\operatorname{E}(X)^2</math> formülü kullanılarak hesaplanır. Sonlu bir anakütlenin varyansı aşağıdaki şekilde gösterilir: <math>\sigma^2 = \sum_{i=1}^N \left(x_i - \overline{x} \right)^ 2 \, \Pr(x_i),</math>. Bu özel bir varyans tanımı olarak sonlu anakütlelere özgü bir tanımdır. Örneklem varyansı ise şu şekilde tanımlanmakradır: <math>\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \left(y_i - \overline{y} \right)^ 2,</math> Örneklem varyansı, anakütle varyansının sapmasız bir tahmin edicisidir. İspatı ise aşağıdaki şekilde gösterilir: :<math> \operatorname{E} \{ s^2 \} = \operatorname{E} \left\{ \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left(x_i - \overline{x} \right) ^ 2 \right\} </math> ::<math> = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \operatorname{E} \left\{ \left(x_i - \overline{x} \right) ^ 2 \right\} </math> ::<math> = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \operatorname{E} \left\{ \left((x_i - \mu) - (\overline{x} - \mu) \right) ^ 2 \right\} </math> ::<math> = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \operatorname{E} \left\{ (x_i - \mu)^2 \right\} - 2 \operatorname{E} \left\{ (x_i - \mu) (\overline{x} - \mu) \right\} + \operatorname{E} \left\{ (\overline{x} - \mu) ^ 2 \right\} </math> ::<math> = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \sigma^2 - 2 \left(\frac{1}{n} \sum_{j=1}^n \operatorname{E} \left\{ (x_i - \mu) (x_j - \mu) \right\} \right) + \frac{1}{n^2} \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n \operatorname{E} \left\{ (x_j - \mu) (x_k - \mu) \right\} </math> ::<math> = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \sigma^2 - \frac{2 \sigma^2}{n} + \frac{\sigma^2}{n} </math> ::<math> = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \frac{(n-1)\sigma^2}{n} </math> ::<math> = \frac{(n-1)\sigma^2}{n-1} = \sigma^2 </math> Bu özellikten faydalanılarak örneklem varyansının hesaplanması ile anakütle varyansına ilişkin tahminlerde bulunulabilir. Bu durumda örneklemin rastsal bir örneklem olması önemlidir. Aksi taktirde örnekleme dayalı tahminler sağlıklı sonuçlar vermeyecektir.

---