& lt;mathgt;f:X\longrightarrow Y</math>, <math>X</math>'ten <math>Y</math>'ye giden bir
fonksiyon olsun. Eğer her <math>x_1,\, x_2\in X</math> için <math>f(x_1)=f(x_2)</math> eşitliği <math>x_1=x_2</math> eşitliğini gerektiriyorsa, yani <math>X</math>'in iki değişik elemanı <math>Y</math>'nin aynı elemanına gidemiyorsa, o zaman <math>f</math> fonksiyonuna birebir fonksiyon adı verilir.
Örneğin, <math>f(x)=x^2</math> kuralıyla tanımlanan <math>f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}</math> fonksiyonu birebir değildir çünkü - gene - örneğin <math>f(-5) = f(5)</math> eşitliği sağlanır; öte yandan gene <math>g(x)=x^2</math> kuralıyla tanımlanan <math>g: \mathbb{R}^{\geq 0} \longrightarrow \mathbb{R}</math> fonksiyonu birebirdir.
Birebir fonksiyonlar fonksiyonların
bileşkesi altında kapalıdır, yani eğer <math>f:X\longrightarrow Y</math> ve <math>g:Y\longrightarrow Z</math> birebir iki fonksiyonsa o zaman <math>g\circ f</math> fonksiyonu da - kolayca kanıtlanabileceği üzere - birebirdir.
Eğer <math>f:X\longrightarrow Y</math> ve <math>g:Y\longrightarrow Z</math> iki fonksiyonsa ve <math>g\circ f</math> (bkz.
bileşke) birebirse o zaman <math>f</math> fonksiyonu birebirdir. Nitekim, eğer <math>x_1,\, x_2\in X</math> için <math>f(x_1) = f(x_2)</math> ise, o zaman her iki tarafı da <math>g</math>'de değerlendirerek, <math>g(f(x_1)) = g(f(x_2))</math> elde ederiz, yani <math>(g\circ f)(x_1)=(g\circ f)(x_2)</math>. Buradan da <math>g\circ f</math> birebir olduğundan <math>x_1 = x_2</math> çıkar.
Cantor'un kümeler kuramına göre eğer <math>X</math>'ten <math>Y</math>'ye giden birebir bir fonksiyon varsa, <math>X</math>'in <math>Y</math>'den "daha az" elemanı olduğunu söyleyebiliriz ve bunu <math>|X|\leq |Y|</math> olarak yazarız.
Cantor-Bernstein-Schröder Teoremi'ne göre <math>|X|\leq |Y|</math> ve <math>|Y|\leq |X|</math> ise <math>|X|\simeq |Y|</math>'dır, yani <math></math> ile <math>Y</math> arasında bir
eşleme vardır.
İlgili maddeler:
Çekirdek
Örten fonksiyon
Eşleme
Cantor-Bernstein-Schröder Teoremi
